Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Г Л А В А 1
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВСПЛЕСКОВ
(ВЕЙВЛЕТОВ)
§ 1. Преобразование Фурье
Рассмотрим банахово пространство L
1
(R
1
) измеримых функ-
ций ϕ(x) с конечным интегралом
R
|ϕ(x)| dx и положим
kϕ(x)k
1
def
=
Z
|ϕ(x)| dx;
здесь и далее отсутствие пределов у интеграла означает интегри-
рование по всей вещественной оси R
1
от −∞ до +∞.
Определение 1. Для функций ϕ(x) и ψ(ξ) пространства
L
1
(R
1
) введем прямое и обратное преобразования Фурье форму-
лами
F
ϕ(x)
(ξ)
def
=
Z
ϕ(x)e
−ixξ
dx, (1.1)
F
−1
ψ(ξ)
(x)
def
=
1
2π
Z
ψ(ξ)e
ixξ
dξ. (1.2)
В дальнейшем для краткости будем также применять сокра-
щенные обозначения
bϕ(ξ)
def
=
F
ϕ(x)
(ξ),
ˇ
ψ(x)
def
=
F
−1
ψ(ξ)
(x).
Нетрудно видеть, что
bϕ(−ξ) = 2π ˇϕ(ξ), (1.3)
и потому многие утверждения, касающиеся прямого преобразо-
вания Фурье, можно перефразировать для обратного.
Весьма важно ответить на вопрос: при каких условиях и в ка-
ком смысле справедливо равенство F
−1
bϕ(ξ)
(x) = ϕ(x). Неко-
торые варианты ответа будут даны в дальнейшем.
5

Страницы