Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L
2
(R
1
)
со скалярным произведением
hf, gi =
Z
f(x)g(x) dx
и нормой
kfk
2
def
=
|hf, fi|
1/2
.
Нам понадобится еще банахово пространство L
∞
(R
1
) с нормой
kϕk
∞
def
=
ess sup
x∈R
1
|ϕ(x)|.
Для краткости пространства L
1
(R
1
), L
2
(R
1
), L
∞
(R
1
) часто обо-
значаются просто L
1
, L
2
, L
∞
.
Теорема 1
∗
. Если функция f лежит в пространстве L
1
, то
1) ее преобразование Фурье
b
f существует и лежит в простран-
стве L
∞
, и при этом k
b
fk
∞
≤ kf k
1
,
2) функция
b
f(ξ) равномерно непрерывна на R
1
и
3) lim
|ξ|→±∞
b
f(ξ) = 0.
Если еще существует производная f
0
функции f и эта производ-
ная — элемент пространства L
1
, то
4) F{f
0
(x)}(ξ) = iξ
b
f(ξ).
Доказательство. По свойствам интеграла из (1.1) получаем нера-
венство
|
b
f(ξ)| ≤
Z
|f(x)| dx,
откуда и вытекает утверждение 1).
Ввиду неравенства
|
b
f(ξ +α)−
b
f(ξ)| ≤
Z
e
−iξx
(e
−iαx
−1)f(x) dx
≤
Z
|(e
−iαx
−1)||f(x)| dx
получим оценку
sup
ξ
|
b
f(ξ + α) −
b
f(ξ)| ≤
Z
|(e
−iαx
− 1)||f(x)| dx,
в правой части которой ξ не фигурирует. Учитывая, что lim
α→0
(e
−iαx
−
1) = 0, по теореме Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла
приходим к утверждению 2).
6

Страницы