Составители:
Доказательство. Для доказательства следует воспользовать-
ся теоремами 4–5 и замечанием 2.
Из доказательства теоремы 7 нетрудно видеть, что формулы (4.20)
и (4.22) справедливы и при s = 0. Учитывая равенства µ
0
= 1, p
m
=
1/m! (см. формулы (2.1), (4.5)) и произвольность остальных коэффи-
циентов характеристического многочлена при определении по ф орму-
лам (4.22) чисел µ
s
, s = 1, 2, . . . , m, приходим к выводу, что должно
быть справедливо следующее утверждение.
Лемма 1
∗
. Числа
b
(m)
i
def
=
m
X
k=0
k
X
j=0
(−1)
j
m + 1
j
(k − j)
i
равны нулю для i = 0, 1, . . . , m − 1, а число b
(m)
m
равно m!.
Доказательство. Хотя предыдущие рассуждения уже являют-
ся доказательством рассматриваемой леммы, однако из методический
соображений проведем независимое доказательство.
Прежде всего перестановкой суммирования это выражение приве-
дем к виду
b
(m)
i
=
m
X
j=0
(−1)
j
m + 1
j
m
X
k
0
=j
(k
0
− j)
i
,
откуда после замены индекса суммирования k = k
0
−j получим пред-
ставление
b
(m)
i
=
m
X
j=0
(−1)
j
m + 1
j
m−j
X
k=0
k
i
. (4.1
∗
)
Докажем сначала, что
b
(m)
i
0
= 0, при i
0
= 0, 1, . . . , m − 1. (4.2
∗
)
Для i
0
= 0, 1, . . . , m − 1 воспользуемся индукцией по i.
При i
0
= 0 последовательно имеем
b
(m)
0
=
m
X
j=0
(−1)
j
m + 1
j
(m − j + 1) =
= (m + 1)
m
X
j=0
(−1)
j
m + 1
j
−
m
X
j=0
(−1)
j
m + 1
j
j =
101
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- …
- следующая ›
- последняя »
