Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 9. Пусть даны векторы µ, λ ∈ K
m+1
, а Q
µ
и Q
λ
– соответствующие квазибиномиальные матрицы. Тогда для
произведения этих матриц справедлива формула
Q
µ
Q
λ
= Q
µλ
. (5.5)
Доказательство. Обозначая q
(α)
ζ
= (−1)
α−ζ
λ
α−ζ
α
ζ
, 0 ≤ ζ ≤
α ≤ m, элементы матрицы Q
λ
, а eq
γζ
— элементы матрицы Q
µ
Q
λ
,
где γ — ном ер строки, а ζ — номер столбца, д ля 0 ≤ ζ ≤ γ ≤ m
имеем
eq
γζ
=
X
ζ≤α≤γ
q
(γ)
α
q
(α)
ζ
=
=
X
ζ≤α≤γ
(−1)
γ−α
µ
γ−α
γ
α
· (−1)
α−ζ
λ
α−ζ
α
ζ
=
= (−1)
γ−ζ
X
ζ≤α≤γ
µ
γ−α
λ
α−ζ
γ!
α!(γ −α)!
α!
ζ!(α − ζ)!
=
= (−1)
γ−ζ
γ!
ζ!(γ −ζ)!
X
ζ≤α≤γ
(γ −ζ)!
(γ −α)!(α − ζ)!
µ
γ−α
λ
α−ζ
=
= (−1)
γ−ζ
γ
ζ
X
ζ≤α≤γ
γ −ζ
α − ζ
µ
γ−α
λ
α−ζ
.
После замены индекса суммирования на α
0
= α−ζ окончательно
получим
eq
γζ
= (−1)
γ−ζ
γ
ζ
X
0≤α
0
≤γ−ζ
γ −ζ
α
0
µ
γ−α−α
0
λ
α
0
=
= (−1)
γ−ζ
γ
ζ
µ λ
γ−ζ
,
что и требовалось установить. Теорема доказана.
Следствие 5. Из только что сформулированной тео-
ремы следует, что во множестве квазибиномиальных матриц
105

Страницы