Составители:
Различные цепочки не имеют общих элементов. Все множе-
ство (4.2) образующих приведенных минимальных сплайнов рас-
падается на такие цепочки, S
m
=
S
µ∈M
C
m
µ
.
Цепочка C
m
µ
B
состоит из одинаковых элементов – экземпляров
одного и того же приведенного образующего B-сплайна степени
m. Два элемента с различными номерами у любой другой цепоч-
ки C
m
µ
, µ 6= µ
B
, представляют собой различные сплайны.
Теорема 13. Если при некоторых i ∈ {0, 1, . . . , m} и
k ∈ {−1, . . . , m} i-я производная ω
(i)
(µ)
(t) приведенного образующе-
го
сплайна ω
(µ)
(t) лежит в классе C
k
, то все сплайны из цепочки
C
m
µ
обладают тем же свойством.
Доказательство. Из калибровочного соотношения (6.9) лег-
ко видеть, что кратности корней t = 0 i-х производных харак-
теристических многочленов для приведенных сплайнов ω
(µ)
(t) и
ω
(Uµ)
(t) совпадают. Осталось воспользоваться теоре мой 5.
Теорема доказана.
Каждая из цепочек в направлении укрупнения сетки (при
j → −∞) характеризуется определенным "сглаживанием" при-
веденных образующих сплайнов; точнее, сп равед ливо следующее
утверждение.
Теорема 14. Каков бы ни был вектор µ ∈ M равномер-
но по t ∈ (k, k + 1), k = 0, 1, . . . , m, выполнено соотношение
lim
j→−∞
ω
(U
j
µ)
(t) =
m
ω
B
(t).
Доказательство. Рассм отрим преобразование
H : µ 7−→ ω
(µ)
,
задаваемое формулами (4.3), как преобразование гиперплоскости
M арифметического пространства K
m+1
в линейное простран-
ство F кусочно-полиномиальных функций f(t), являющихся ал-
гебраическими многочленами степени не выше m на промежут-
ках
(k, k + 1), k = 0, 1, . . . , m. Для удобства в каждом из н их вве-
дем норму kµk
def
=
max
0≤j≤m
|µ
j
|, µ ∈ K
m+1
, а также рассмот-
рим норму
kfk
def
=
max
0≤k≤m
sup
t∈(k,k+1)
|f(t)|, f ∈ F.
111
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
