Составители:
Очевидно, что преобразование H непрерывно, и потому для
доказательства теоремы достаточно установить, что при любом
µ ∈ M справедливо соотношение
lim
j→−∞
U
j
µ → µ
B
. (6.10)
Теперь заметим, что матричное преобразование E
2
переводит
гиперплоскость M в себя и является эндоморфизмом группы M,
так что
E
2
(x y) = (E
2
x) (E
2
y).
Рассмотрим итерационный процесс
(k)
µ
= E
2
(k−1)
µ
E
2
b
−1
b,
где
0
µ
, b ∈ M, а k – любое целое число.
Легко установить (индукцией по k), что все итерации лежат в
M и что этот п роце сс может быть представлен через начальное
приближение в форме
(k)
µ
=
E
k
2
(
0
µ
b
−1
)
b. (6.11)
Поскольку E
k
2
– диагональная матрица с элементами вида
2
ik
на главной диагонали, то каков бы ни был вектор z ∈ M,
при k → −∞ существует предел, равный единице группы (т.е.
вектору 1 = (1, 0, . . . , 0))
lim
k→−∞
E
k
2
z = 1, (6.12)
а при k → +∞ для любого вектора z ∈ M, отличного от едини-
цы группы (т.е. z 6= 1), не существует предела предела последо-
вательности E
k
2
z (ненулевые компоненты [z]
s
, s = 1, 2, . . . , m,
дают неограниченный рост).
Полагая z =
0
µ
b
−1
в си лу формулы (6.12) теп ерь получаем
lim
k→−∞
E
k
2
(
0
µ
b
−1
)
b = b. (6.13)
112
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »
