Составители:
Выяснение других связей между операциями rev, · и предо-
ставляем читателю.
§ 7. Итерации в группе M
Итерационными автоморфизмами в группе M будем назы-
вать отображения вида
η = E
x
µ E
x
b
−1
b, µ, b ∈ M. (7.1)
Теорема 2. Итерационный процесс
(k)
µ
= E
x
(k−1)
µ
E
x
b
−1
b, k = 1, 2, . . . , (7.2)
может быть представлен через начальное приближение в фор-
ме
(k)
µ
= E
k
x
0
µ
E
k
x
b
−1
b. (7.3)
Доказательство. Формулу (7.3) докажем индукцией по k.
При k = 1 эта формула очевидна. Предположив, что она верна
при некотором k, покажем ее с пр аведли вость при k + 1. Подстав-
ляя
(k)
µ
из (7.3) в формулу (7.1) вместо µ, находим
k+1
µ
= E
x
(E
k
x
0
µ
E
k
x
b
−1
b) E
x
b
−1
b. (7.4)
Учитывая, что операция E
x
представляет собой групповой авто-
морфизм, получаем
(E
x
b)
−1
= E
x
b
−1
. (7.5)
По этой же причине, раскрывая скобки в (7.4), переносим E
x
на
каждый сомножитель в скобках; в результате имеем
k+1
µ
= E
k+1
x
0
µ
E
k+1
x
b
−1
E
x
b E
x
b
−1
b.
Пользуясь формулой (7.5), отсюда выведем искомое соотноше-
ние. Индукция завершена. Теорема доказана.
Следствие 1. Справедливы утверждения:
132
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- …
- следующая ›
- последняя »
