Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

с определителем ∆ в знаменателе). Если n 6= r, то при предпо-
ложении (11.4) и при условии (11.6) каждый из определителей в
числителе равен нулю (они имеют по два одинаковых столбца), и
потому опять-таки правые части рассматриваемых соотношений
совпадают. Итак, при условии (11.6) имеем
Φ
ν(r)
(n − 0) = Φ
ν(r)
(n + 0) = δ
r,n
;
таким образом, доказаны как непрерывность функции
Φ
ν(r)
(t) в точках 1, 2, . . . , m, так и соотношение (11.5).
Для доказательства первой части теоремы осталось устано-
вить непрерывность функции Φ
ν(r)
(t) в точках t = 0 и t = m + 1.
Поскольку промежуток [0, m +1] является носителем этой функ-
ции, то достаточно доказать соотношения
Φ
ν(r)
(+0) = Φ
ν(r)
(m + 1 − 0) = 0. (11.9)
Применяя формулы (11.2) и (11.1) при n = 0 и n = m + 1
соответственно (см. условие (А)), находим
Φ
ν(r)
(+0) =
1
∆
det(e
−r
, e
−1
, . . . , e
−m+1
, e
−m
), (11.10)
Φ
ν(r)
(m + 1 − 0) =
1
∆
det(1, e
−1
, . . . , e
−m+1
, e
−r+1
); (11.11)
поскольку определители в числителе правых частей равенств
(11.10), (11.11) равны нулю (они имеют по два одинаковых столб-
ца), то соотношения (11.9) доказаны.
На этом заканчивается доказательство первой части теоремы.
Докажем вторую ее часть, а именно докажем, что из непре-
рывности функции Φ
ν(r)
(t) в некоторой точке
j ∈ {0, 1, . . . , m, m + 1}
следует выполнение условия (11.4).
Как и выше, сначала рассмотрим случай, когда упомянутая
функция непрерывна в некоторой точке множества {1, 2, . . . , m}.
140

Страницы