Составители:
Итак, пусть выполнено условие (11.6). Рассмотрим многочлен m-
й степени относительно r
P (r) =
1
∆
h
det(
0
0
1,
0
1
e
−1
, . . . ,
0
n−2
e
−n+2
,
0
n−1
e
−r+1
,
0
n
e
−n
, . . . ,
0
m
e
−m
) − det(
0
0
1,
0
1
e
−1
, . . . ,
0
n−1
e
−n+1
,
0
n
e
−r
,
0
n+1
e
−n−1
, . . . ,
0
m
e
−m
)
i
. (11.12)
Ввиду первой части теоремы корнями этого многочлена яв-
ляются чис ла {1, 2, . . . , m}, ибо при выполнении условия (11.4)
функция Φ
ν(r)
(t) непрерывна, в частности и в точке n, а вы-
читаемое и уменьшаемое в квадратных скобках (11.12) являют-
ся ее предельными значениями спр ава и слева соответственно в
упомянутой точке. Если предположить, что э та функция непре-
рывна в этой точке при каком-либо еще значении r = r
∗
, r
∗
/∈
{1, 2, . . . , m}, то окажется, что многочлен P (r) имеет m + 1 раз-
личных корней, что невозможно для многочлена m-й степени.
Итак, из непрерывности функции Φ
ν(r)
(t) в точке n, удовлетво-
ряющей условию (11.6), следует соотношение (11.4). Для оконча-
ния доказательства второй части теоремы осталось установить,
что из непрерывности рассматриваемой функции хотя бы в од-
ной из точек t = 0 или t = m + 1 следует соотношение (11.4).
Непрерывность функции Φ
ν(r)
(t) в точке t = 0 эквивалентна ра-
венству Φ
ν(r)
(+0) = 0, а это эквивалентно соотношению
det(e
−r
, e
−1
, . . . , e
−m+1
, e
−m
) = 0
(см. формулу (11.10)); многочлен m-й степени, находящийся в
левой части последнего соотношения, очевидно имеет m различ-
ных корней r = 1, 2, . . . , m и других корней иметь не может.
Итак, для непрерывности функции Φ
ν(r)
(t) в точке t = 0 усло-
вие (11.4) необходимо. Точно так же доказывается необходимость
этого условия для непрерывности функции Φ
ν(r)
(t) в точке t =
m + 1, а именно непрерывность последней эквивалентна равен-
ству
det(1, e
−1
, . . . , e
−m+1
, e
−r+1
) = 0 (11.13)
141
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- …
- следующая ›
- последняя »
