Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 7. В условиях (12.1) минимальный сплайн ω
(µ)
(t)
непрерывен относительно семейства G
µ
(r); при этом справед-
ливы соотношения
g
−
j,(µ,r)
(ω
(µ)
) = δ
j,r
, (12.4)
g
+
j,(µ,r)
(ω
(µ)
) = δ
j,r
. (12.5)
Доказательство. Достаточно заметить, что ввиду формул
(10.2) и (12.1)–(12.3) справедливы соотношения
g
−
j,(µ,r)
(ω
(µ)
) = Φ
ν(r)
(j − 0), (12.6)
g
+
j,(µ,r)
(ω
(µ)
) = Φ
ν(r)
(j + 0), (12.7)
и воспользоваться теоремой 6: условия (12.1) необходимы и до-
статочны для непрерывности функции Φ
ν(r)
(t), и потому правые
части соотношений (12.6) и (12.7) совпадают. В условиях (12.1)
формулы (12.4),(12.5) вытекают из соотношений (11.5) и (12.6),
(12.7). Теорема доказана.
Определение 3. Функции ω
j,(µ)
(t), определяемые равен-
ствами
ω
j,(µ)
(t) = ω
(µ)
(t − j), (12.8)
называются базисными минимальными сплайнами на целочис-
ленной сетке, соответствующими параметру µ ∈ M. Множе-
ство
Ω
(µ)
def
=
{ω
j,(µ)
}
j∈Z
называется системой базисных минимальных сплайнов (соот-
ветствующих параметру µ ∈ M).
Очевидно, что ω
j,(µ)
∈ U.
Рассмотрим (бесконечную в обе стороны) послед овательность
{v
j
}
j=+∞
j=−∞
, v
j
∈ K. (12.9)
В каждой точке t ∈ (k, k + 1), k ∈ Z, определена сумма
u
µ
(t) =
X
j∈Z
v
j
ω
j,(µ)
(t) (12.10)
144

Страницы