Составители:
равенством
u
µ
(t) =
k
X
j=k−m
v
j
ω
j,(µ)
(t).
Определение 4. Множество
˜
X
µ
сумм вида (12.10) при все-
возможных последовательностях (12.9) будем называть простран-
ством минимальных сплайнов (соответствующим параметру
µ ∈ M).
Очевидно, что
˜
X
µ
⊂ U.
Символами
˜
X
∗
µ
и U
∗
обозначаются сопряженные простран-
ства к пространствам
˜
X
µ
и U соответственно.
В пространстве
˜
X
∗
µ
выделим систему F
µ
функционалов f
j,(µ)
,
биортогональных системе базисных минимальных сплайнов,
F
µ
def
=
{f
j,(µ)
}
j∈Z
, f
j
0
,(µ)
(ω
j,(µ)
) = δ
j,j
0
, j, j
0
∈ Z. (12.11)
Введем обозначения для семейств рассмотренных выше функ-
ционалов:
G
−
µ
(r)
def
=
{g
−
j,(µ,r)
}
j∈Z
, G
+
µ
(r)
def
=
{g
+
j,(µ,r)
}
j∈Z
.
Теорема 8. В условиях (12.1) системы функционалов G
−
µ
(r)
и G
+
µ
(r) биортогональны системе функций Ω
(µ)
, и при этом
g
−
j
0
+r,(µ,r)
(ω
j,(µ)
) = g
+
j
0
+r,(µ,r)
(ω
j,(µ)
) = δ
j,j
0
.
Доказательство. Ввид у определения функционалов g
−
j,(µ,r)
и функций ω
j,(µ)
(см. формулы (12.2) и (12.8)) и благодаря соот-
ношению δ
j
0
−j+r,r
= δ
j,j
0
, получим очевидную цепочку равенств
g
−
j
0
+r,(µ,r)
(ω
j,(µ)
) =
m
X
α=0
(−1)
α
ν
α
α!
ω
(α)
j,(µ)
(j
0
+ r − 0) =
=
m
X
α=0
(−1)
α
ν
α
α!
ω
(α)
(µ)
(j
0
− 0 − j + r) = δ
j
0
−j+r,r
= δ
j,j
0
.
145
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- …
- следующая ›
- последняя »
