Составители:
Теорема 9. Решения парных задач (13.1) и (13.2) существу-
ют и единственны в пространстве минимальных сплайнов
u
µ
∈
˜
X
µ
; эти решения совпадают между собой и даются ра-
венством
u
µ
(t) =
X
j∈Z
v
j
ω
j−r,(µ)
(t). (13.3)
Доказательство. Данное утверждение является непосред-
ственным следствием теоремы 8.
Определение 6. Интерполяционную задачу с данными (12.9)
будем называть прямой интерполяционной задачей для мини-
мальных базисных сплайнов с параметром µ, если ее решение
имеет вид (13.3); р еше ние (13.3) называем прямым решением.
Замечание 5. Из пр едыд ущего пункта ясно, что теперь мож-
но рассматривать m-параметрические семе йства интерполяцион-
ных задач и получать их прямое ре шен ие с помощью минималь-
ных сплайнов. Эти семейства могут быть весьма разнообразны за
счет различных способов распространения биортогональной си -
стемы на пространство U; в частности, производные могут быть
заменены разностями, и при этом полученная задача может рас-
сматриваться как аппроксимация исходной, хотя она имеет и са-
мостоятельный интерес .
§ 14. Примеры прямых интерполяционных задач
Здесь п ри веде м примеры интерполяционных задач для сплай-
нов первой, второй и третьей степени, ограничиваясь функцио-
налами в дифференциальной форме. Некоторые полезные при-
меры даны в упражнениях к этой главе (см. также ответы к
упомянутым упражнениям).
На каждом интервале t ∈ (k, k + 1), k ∈ Z, минимальные
сплайны первой степени
1
ω
(µ)
(t), µ
def
=
(1, µ
1
), µ
1
∈ R
1
, опре-
деляются из аппроксимационных соотношений (8.1), которые в
данном случае (при m = 1) имеют вид
ω
(µ)
(t − k + 1) + ω
(µ)
(t − k) = 1,
(k − 1)ω
(µ)
(t − k + 1) + kω
(µ)
(t − k) = t −µ
1
,
147
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- …
- следующая ›
- последняя »
