Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

⇐⇒ hp, e
t
i = 2
−m
hE
2
e
p, e
t
i,
где угловыми скобками обозначено скалярное произведение в ев-
клидовом пространстве (m + 1)-компонентных векторов. Отсюда
выводим p = 2
−m
E
2
e
p.
Следствие 1. Минимальные образующие сплайны в калиб-
ровочном соотношении имеют одну и ту же гладкость (в том
смысле, что из i-е производные лежат в одном и том же про-
странстве C
s
(R
1
); здесь s может принимать значения из мно-
жества {1, 2, . . . , m − 1}).
Доказательство. Если в соотношении (1.7) при некотором
s, s = 1, 2, . . . , m − 1, функция ω
(i)
[ep]
(t) лежит в пространстве
C
s
(R
1
), то импликация ω
(i)
[p]
(t) ∈ C
s
(R
1
) очевидна. Обратно, ес-
ли при некотором s = 1, 2, . . . , m − 1 сплайн ω
(i)
[p]
(t) лежит в про-
странстве C
s
(R
1
), то нуль является (s + 1)-кратным корнем i-й
производной его характеристического многочлена (1.1), так что
p
i
= 0, i = 0, 1, . . . , s − 1. Из (1.6) ясно, что коэффициенты
характеристического многочлена для сплайна ω
(i)
[ep]
(t) получают-
ся умножением коэффициентов p
i
на числа 2
m−i
, и потому нуль
является (s + 1)-кратным корнем и его i-й производной, так что
сплайн ω
(i)
[ep]
(t) лежит в пространстве C
s
(R
1
). Следствие доказа-
но.
§ 2. Свойства характеристического многочлена
В пространстве K
m+1
воспользуемся введенными ранее (см.
§ 6 главы 3) псевдоскалярным произведением
(a, b)
s
=
s
X
j=0
[a]
j
[b]
0
j
, s = 0, 1, . . . , m, (2.1)
операцией псевдосопряжения (см. формулу (3.2.5))
x 7→
¯
x, [
¯
a]
s
= (−1)
s
[a]
s
, s = 0, 1, . . . , m, (2.2)
157

Страницы