Составители:
Будем считать, что функционалы системы {bϕ
(0)
i
0
} распростране-
ны линейно на все п ростр анство V
1
.
Нетрудно видеть, что справедливы следующие утверждения.
Лемма 2. Справедливо включение V
0
⊂ V
1
.
Доказательство. Доказываемое утверждение вытекает из
предположения (4.1).
Лемма 3. Операция P
0
, даваемая формулой
P
0
f
def
=
X
i
0
∈I
0
bϕ
(0)
i
0
(f)ϕ
(0)
i
0
∀ f ∈ V
1
,
является операцией проектирования на V
0
.
Доказательство. Требуется установить, что, во-первых,
P
0
f ∈ V
0
и, во-вторых, P
0
f = f ∀f ∈ V
0
. Первое непосред-
ственно следует из определения операции P
0
, а второе — из упо-
мянутого определения и из биортогональности систем {bϕ
(0)
i
0
} и
{ϕ
(0)
i
}.
Рассмотрим множество
W
0
= {w | w = f −P
0
f, f ∈ V
1
}.
Лемма 4. Множество W
0
линейное, и для него справедливы
соотношения
W
0
∩ V
0
= 0, W
0
+ V
0
= V
1
, (4.2)
где сумма W
0
+ V
0
означает множество
{f | f = f
0
+ f
1
, ∀f
0
∈ W
0
, ∀f
1
∈ V
0
}.
Доказательство. Для доказательства первого соотношения
в (4.2) рассмотрим элемент f
1
∈ W
0
∩V
0
и покажем, что f
1
= 0.
Поскольку f
1
∈ W
0
, то согласно определению W
0
существует
элемент f ∈ V
1
такой, что f
1
= f −P
0
f. Применяя оператор P
0
к
обеим частям последн его равенства, находим P
0
f
1
= 0 . С другой
стороны, f
1
∈ V
0
, и потому (в силу леммы 3) P
0
f
1
= f
1
. Ввиду
163
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- …
- следующая ›
- последняя »
