Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 6. Справедливо тождество
ω
(α)
j,(µ)
x
h
≡ h
α
d
α
ω
h,j,(µ)
dx
α
(x), ∀x ∈ (x
k
, x
k+1
), ∀k ∈ Z. (7.8)
Доказательство очевидно.
Рассмотрим линейное пространство
U
h
= {u | u ∈
\
j∈Z
C
m
hx
j
, x
j+1
i}.
Ясно, что минимальные сплайны ω
h,j,(µ)
принадлежат простран-
ству U
h
.
На пространстве U
h
зададим линейные функционалы g
±
h,j,(µ,r)
равенствами
g
±
h,j,(µ,r)
(u)
def
=
m
X
α=0
(−1)
α
ν
α
α!
h
α
d
α
u
dx
α
(x
j
± 0), (7.9)
где
ν = µ
−1
e
r
, r ∈ {1, 2, . . . , m}, (7.10)
и введем обозначения для семейств этих функционалов
G
−
h,µ
(r)
def
=
{g
−
h,j,(µ,r)
}
j∈Z
, G
+
h,µ
(r)
def
=
{g
+
h,j,(µ,r)
}
j∈Z
.
Теорема 6. При условии (7.10) семейства функционалов
G
−
h,µ
(r) и G
+
h,µ
(r) биортогональны системе функций
{ω
h,j,(µ)
(x)}
j∈Z
, а именно
g
−
h,j
0
+r,(µ,r)
(ω
h,j,(µ)
) = g
+
h,j
0
+r,(µ,r)
(ω
h,j,(µ)
) = δ
j,j
0
. (7.11)
Доказательство. Согласно теореме 3.8 системы функциона-
лов G
−
µ
(r) и G
+
µ
(r) биортогональны системе ω
j,(µ)
, т. е.
g
±
j
0
+r,(µ,r)
(ω
j,(µ)
) = δ
j,j
0
. (7.12)
170

Страницы