Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим дифференциальный оператор M
µ
, задаваемый
формулой
M
µ
def
=
m
X
α=0
(−1)
α
µ
α
α!
∂
α
. (9.8)
Этот оператор называется определяющим оператором [24, с.
276].
Лемма 7. Пусть фиксированы µ ∈ M, r ∈ {1, . . . , m} и
S ∈ N
0
. На пространстве многочленов π
m
функционалы (8.6)
могут быть заданы с помощью определяющего оператора фор-
мулой
bϕ
(S)
j
(u) =
M
µ
−1
u
(2
−S
j + 0). (9.9)
Доказательство. Для краткости ограничимся случаем S =
0. Согласно определениям (8.6), (7.9)–(7.10) имеем
bϕ
(0)
i
0
(u) = g
+
i
0
+r,(µ,r)
(u) =
m
X
α=0
(−1)
α
ν
α
α!
d
α
u
dx
α
(i
0
+ r + 0) =
=
m
X
α=0
(−1)
α
[µ
−1
e
r
]
α
α!
d
α
u
dx
α
(i
0
+ r + 0). (9.10)
Используя определение свертки в формуле (9.10), находим
bϕ
(0)
i
0
(u) =
m
X
α=0
(−1)
α
α!
α
X
j=0
α
j
[µ
−1
]
j
[e
r
]
α−j
d
α
u
dx
α
(i
0
+ r + 0) =
=
m
X
j=0
[µ
−1
]
j
m
X
α=j
α
j
(−1)
α
α!
r
α−j
d
α
u
dx
α
(i
0
+ r + 0) =
=
m
X
j=0
[µ
−1
]
j
j!
m
X
α=j
(−1)
α
(α − j)!
r
α−j
d
α
u
dx
α
(i
0
+ r + 0) =
=
m
X
j=0
[µ
−1
]
j
j!
(−1)
j
m−j
X
α
0
=0
(−1)
α
0
α
0
!
r
α
0
d
α
0
dx
α
0
d
j
u
dx
j
(i
0
+ r + 0). (9.11)
177

Страницы