Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Существование коэффициентов c
n
Фурье функции u
∗
вытекает
из предположения u
∗
∈ L
∗1
; однако если при указанном предполо-
жении поставить вопрос о сходимости ряда (7.1) для a = c, то мо-
жет оказаться, что он расходится (например, известна непрерывная
2π-периодическая функция, ряд Фурье которой расходится во всех
рациональных точках, а также известны функции из L
∗1
, ряд Фурье
которых расходится всюду).
Дальше даны некоторые сведения из теории рядов Фурье. По-
скольку изложение этой теории не является нашей основной задачей,
то здесь приведены лишь некоторые факты без доказательств, а за-
интересованный читатель отсылается к книгам [ 1–3].
Теорема 9
∗
(об изометрической биективности полудискретного пре-
образования Фурье F
∗
из пространства l
2
на пространство L
∗2
).
Полудискретное преобразование Фурье F
∗
является и зометрической
биекцией из пространства l
2
на пространство L
∗2
, так что справед-
ливо равенство
ha, bi = hF
∗
(a), F
∗
(b)i
∗
.
Для формулировки условий сходимости ряда Фурье введем е ще
два пространства: пространство C
∗
непрерывных 2π-периодических
функций и пространство V
∗
2π-периодических функций ограничен-
ной вариации, т.е. 2π-периодических функций F
∗
(x), для которых
2π
_
0
u
∗
def
=
sup
{X}
n
X
k=0
|u
∗
(x
k+1
) − u
∗
(x
k
)| < +∞,
где точная верхняя грань берется по всем сеткам X вида
X
def
=
{x
0
= 0 < x
1
< . . . < x
n−1
< x
n
= 2π},
причем число n — произвольное натуральное число.
Как известно, для функций u
∗
∈ C
∗
определен модуль непрерыв-
ности
ω
C
∗
(u
∗
, h)
def
=
sup
x∈R
1
|u
∗
(x + h) − u
∗
(x)|,
а для ф ункций u
∗
ограниченной вариации, u
∗
∈ V
∗
, конечны левосто-
ронний и правосторонний пределы в любой точке x ∈ R
1
:
u
∗
(x − 0)
def
=
lim
h→+0
u
∗
(x − h), u
∗
(x + 0)
def
=
lim
h→+0
u
∗
(x + h).
24

Страницы