Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Пусть f ∈ L
1
. Очевидно, что
Z
2π
0
|
P
N
f
(x)| dx ≤
N
X
k=−N
Z
2π
0
|f(x + 2πk)| dx =
=
N
X
k=−N
Z
2π(k+1)
2πk
|f(x)| dx =
Z
2π(N +1)
−2πN
|f(x)| dx ≤
Z
|f(x)| dx, (8.3
∗
)
откуда следует неравенство
+∞
X
k=−∞
Z
2π
0
|f(x + 2πk)| dx ≤
Z
|f(x)| dx < +∞. (8.4
∗
)
Последнее означает, что ряд в правой части соотношения (8.1
∗
) аб-
солютно сходится почти везде (если бы существовало множество E ⊂
(0, 2π) положительной меры, на котором ряд
X
k
|f(x + 2πk)| (8.5
∗
)
расходится, то ряд
X
k
Z
2π
0
|f(x + 2πk)| dx
тоже должен был бы расходиться, а это противоречит соотношению
8.4
∗
)).
Итак, почти везде
lim
N→+∞
P
N
f
(x) =
Pf
(x).
Сумму ряда (8.5
∗
) обозначим Φ
∗
(x),
Φ
∗
(x)
def
=
X
k
|f(x + 2πk)|.
Ввиду (8.3
∗
) имеем
Z
2π
0
|
P
N
f
(x)| dx ≤
Z
|f(x)| dx. (8.6
∗
)
Поскольку
|
P
N
f
(x)| ≤ Φ
∗
(x),
26

Страницы