Составители:
Следствие 3. Если n — целое число, то выражение
ϕ ∗
Sθ
(n) является n-м коэффициентом Фурье 2π-периодической
функции
Φ
∗
(ξ)
def
=
X
j
bϕ(ξ + 2πj) ·
b
θ(ξ + 2πj);
иначе говоря,
ϕ ∗ Sθ
(n) =
=
1
2π
Z
2π
0
e
iξn
X
j
bϕ(ξ + 2πj) ·
b
θ(ξ + 2πj) dξ. (8.5)
Доказательство. Положим в (8.1)–(8.3) f = F
ϕ∗Sθ
. Вви-
ду (6.3), (8.1)
F
∗
(ξ) =
X
j
bϕ(ξ + 2πj) ·
b
θ(ξ + 2πj),
и согласно (8.4) F
∗
(ξ) = Φ
∗
(ξ).
Теперь формула (8.5) вытекает из (8.2).
Следствие 4. Для целого n
ϕ ∗ Sϕ
(n) =
1
2π
Z
2π
0
e
iξn
X
j
bϕ(ξ + 2πj)
2
dξ. (8.6)
Доказательство. Соотношение (8.6) получается из (8.5) при
θ = ϕ.
§ 9. Формула суммирования Пуассона
и следствия из нее
Ввиду леммы 4 коэффициенты Фурье функции (8.2) даются фор-
мулой (8.3), и потому справедливо следующее утверждение.
Теорема 12
∗
(формула суммирования Пуассона). Если функция
f ∈ L
1
, функция F
∗
(x)
def
=
P
j
f(x+2πj) непрерывна, а ряд Фурье функ-
ции F
∗
(x) сходится, то справедливо соотношение
F
∗
(x) =
X
j
ˇ
f(n)e
−ixn
,
28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »