Составители:
или (что то же самое)
X
j
f(x + 2πj) =
X
n
ˇ
f(n)e
−ixn
; (9.1
∗
)
это соотношение называется формулой суммирования Пуассона.
Далее указываются также другие достаточные условия, при кото-
рых справедлива формула суммирования Пуассона.
Теорема 13
∗
. Если для некоторого α > 1 измеримая функция f
удовлетворяет условиям
|f(x)| ≤ C(1 + |x|
α
)
−1
, |
b
f(ξ)| ≤ C(1 + |ξ|
α
)
−1
, (9.2
∗
)
то справедлива формула суммирования Пуассона (9.1
∗
).
Доказательство. Пусть 0 ≤ x
∗
≤ 2π. Очевидно, что для j ≤ −1
имеем x
∗
+ 2πj ≤ 2π(j + 1) ≤ 0, так что |x
∗
+ 2πj| ≥ 2π|j + 1|, откуда
1 + |x
∗
+ 2πj|
α
−1
≤
1 + (2π|j + 1|)
α
−1
при j ≤ −1. (9.3
∗
)
Аналогично для j ≥ 0 получим 0 ≤ 2πj ≤ x
∗
+2πj, откуда |x
∗
+2πj| ≥
2πj, и, следовательно,
1 + |x
∗
+ 2πj|
α
−1
≤
1 + (2πj)
α
−1
при j ≥ 0. (9.4
∗
)
Оценки (9.3
∗
) и (9.4
∗
) свидетельствуют о том, что члены ряда
P
j
|f(x
∗
+
2πj)| мажорируются членами сходящегося числового ряда; действи-
тельно, в силу первого из неравенств (9.2
∗
), а также неравенств (9.3
∗
)
и (9.4
∗
) имеем
|f(x
∗
+ 2πj)| ≤
1 + (2π|j + 1|)
α
−1
при j ≤ −1, (9.5
∗
)
|f(x
∗
+ 2πj)| ≤
1 + (2πj)
α
−1
при j ≥ 0. (9.6
∗
)
Итак ряд
P
j
f(x
∗
+ 2πj) равномерно и абсолютно сходится, откуда
следует, что его сумма F
∗
(x
∗
) — непрерывная функция на промежутке
[0, 2π].
Используя второе из неравенств (9.2
∗
), аналогичным образом уста-
навливаем сходимость (тоже равномерную и абсолютную) ряда Фурье
P
n
ˇ
f(n)e
−ixn
.
29
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
