Составители:
Полагая здесь a =
1
2π
, имеем
X
j
f(
x
2π
+ j) =
X
n
b
f(2πn)e
ixn
. (9.9
∗
)
Наконец, заменяя в последнем равенстве
x
2π
на x
0
и опуская штрих,
получаем формулу (9.1).
Теорема доказана.
Замечание (о различных представлениях формулы суммирования
Пуассона). В ходе доказательства предыдущей теоремы нами были
получены соотношения (9.7
∗
)–(9.9
∗
), которые можно рассматривать
как различные представлениях формулы суммирования Пуассона.
Полагая x = 0 в формулах (9.1
∗
), (9.7
∗
)–(9.9
∗
), получаем
X
j
f(2πj) =
X
n
ˇ
f(n), (9.10
∗
)
X
j
f(2πj) =
1
2π
X
n
0
b
f(n
0
), (9.11
∗
)
X
j
f(2πaj) =
1
2πa
X
n
b
f(
n
a
),
X
j
f(j) =
X
n
b
f(2πn). (9.12
∗
)
Теорема 2 (вторая суммационная формула Пуассона). Пусть
при некоторых константах C > 0, α > 1 выполнены соотноше-
ния
|f(x)| ≤ C, (9.3)
|g(x)| ≤ C(1 + |x|
α
)
−1
, |bg(ξ)| ≤ C(1 + |ξ|
α
)
−1
. (9.4)
Тогда справедлива формула
X
l
hf, g(·− l)ie
−ilξ
=
X
k
b
f(ξ + 2πk)bg(ξ + 2πk). (9.5)
Доказательство. Нетрудно видеть, что из соотношений (9.3)–
(9.4) следуют импликации g, bg ∈ L
1
, а это ввиду теоремы 1
∗
и
31
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
