Составители:
соотношения (1.3) приводит к равномерной непрерывности только что
перечисленных функций на вещественной оси.
Пусть ξ — фиксированное вещественное число. Рассмотрим (оче-
видно, непрерывную) функцию F
ξ
(y)
def
=
g(y)e
−iyξ
. Ввиду первого из
соотношений (9.4) она удовлетворяет неравенству
|F
ξ
(y)| = |g(y)| ≤ C(1 + |y|
α
)
−1
. (9.13
∗
)
Для ее преобразования Фурье имеем
c
F
ξ
(η) = F{F
ξ
(y)}(η) =
Z
g(y)e
−iyξ
e
−iyη
dy = bg(ξ + η), (9.14
∗
)
так что
c
F
ξ
(η) — непрерывная функция, лежащая в пространстве L
1
.
Покажем, что эта функция с некоторой положительной константой
C
∗
ξ
удовлетворяет неравенству
|
c
F
ξ
(η)| ≤ C
∗
ξ
(1 + |η|
α
)
−1
. (9.15
∗
)
Действительно, при ξ = 0
c
F
ξ
(η) = bg(η)
и дело сводится ко второй из оценок (9.4) (так что в этом случае
C
∗
ξ
= C).
Для |η| ≥ 2|ξ| > 0 имеем
|ξ + η| ≥ |η| − |ξ| ≥
η
2
≥ |ξ| > 0,
так что
|ξ + η|
α
≥
η
2
α
. (9.16
∗
)
Ввиду второй из оценок (9.4) из формул (9.15
∗
), (9.16
∗
) имеем
|
c
F
ξ
(η)| ≤ C(1 +
η
2
α
)
−1
,
так что
|
c
F
ξ
(η)| ≤ 2
α
C(1 + |η|
α
)
−1
для |η| > 2|ξ| > 0. (9.17
∗
)
При |ξ| > 0 обозначим C
ξ
максимум модуля непрерывной функции
c
F
ξ
(η) в области |η| ≤ 2|ξ|:
C
ξ
def
=
max
|η|≤2|ξ|
|
c
F
ξ
(η)|; (9.18
∗
)
32
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
