Составители:
Теперь видно, что условия теоремы 12
∗
выполнены, а значит, спра-
ведлива формула (9.1
∗
).
Нас особенно будут интересовать два следствия формулы сумми-
рования Пуассона, которые будем называть первой и второй сумма-
ционными формулами Пуассона.
Определение 5. Будем говорить, что функция f удовле-
творяет условию P (f), если при некоторых числах C > 0 и
α > 1 выполнено неравенство
|f(x)| ≤ C(1 + |x|
α
)
−1
, |
b
f(ξ)| ≤ C(1 + |ξ|
α
)
−1
,
C > 0, α > 1. (9.1)
Теорема 1 (первая суммационн ая формула Пуассона). Пусть
выполнено предположение P (f). Тогда справедлива формула
X
l
f(x + l) =
X
k
b
f(2πk)e
2π ikx
. (9.2)
Доказательство. Прежде всего заметим, что предположения (9.1)
совпадают с условиями теоремы 13
∗
, и потому справедлива ф ормула
(9.1
∗
).
Ввиду соотношения (1.3) верно равенство
ˇ
f(x) =
1
2π
b
f(−x); заменяя
в (9.1
∗
)
ˇ
f(n) на
1
2π
b
f(−n) и −n на n
0
, найдем
X
j
f(x + 2πj) =
1
2π
X
n
0
b
f(n
0
)e
ixn
0
. (9.7
∗
)
Благодаря лемме 1 для функции f
a
(x)
def
=
f(ax) имеем
b
f
a
(ξ)
def
=
1
a
f(
x
a
),
так что, заменяя в (9.7
∗
) функцию f на f
a
, получаем
X
j
f
a
(x + 2πj) =
1
2π
X
n
b
f
a
(n)e
ixn
,
откуда
X
j
f(ax + 2πaj) =
1
2πa
X
n
b
f(
n
a
)e
ixn
. (9.8
∗
)
30
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
