Составители:
снова получим абсолютно и равномерно сходящиеся ряды. Интегри-
руя их почленно (ввиду равномерной сходимости рядов почленное ин-
тегрирование допустимо), получаем формулу
X
l
Z
f(x)g(x − l) dx e
−ilξ
=
=
X
k
Z
f(x)e
−ix(ξ+2πk)
dx bg(2πk + ξ);
она эквивалентна формуле (9.5). Теорема доказана.
Замечание. Легко видеть, что из предположения P (f) сле-
дует (9.3), так что справедливо также следующее утверждение:
если выполнены предположения P (f ) и P (g), то верна вторая
суммационная формула Пуассона (9.5).
Заметим также, что если функция f удовлетворяет условию P (f),
то для нее справедливы формулы (9.1
∗
), (9.7
∗
)–(9.12
∗
).
Следствие 5. Для измеримой функции g, удовлетворяю-
щей условию P (g), справедлива формула
X
l
Z
g(x)g(x − l) dx =
X
k
|bg(2πk)|
2
. (9.6)
Доказательство. Соотношение (9.6) вытекает из формулы
(9.5) при g = f и ξ = 0.
§ 10. Некоторые вспомогательные утверждения
В этом параграфе центральную роль играет функция F (ξ),
удовлетворяющая почти везде тождеству:
X
j
|F (ξ + 2πj)|
2
≡ c, 0 < c < +∞, (10.1)
где константа c не зависит от ξ. Следствием этого тождества,
конечно, является абсолютная сходимость (почти везде) ряда
P
j
|F (ξ + 2πj)|
2
.
34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
