Составители:
то (по теореме Лебега) возможен переход к пределу при N → +∞ под
знаком интеграла в неравенстве (8.6
∗
); в результате получим
Z
2π
0
|
Pf
(x)| dx ≤
Z
|f(x)| dx.
Тем самым неравенство (8.2
∗
) доказано. Легко установить также ад-
дитивность и однородность операции P.
Лемма доказана.
Лемма 4. Если f ∈ L
1
, n ∈ Z, то ряд
X
j
f(x + 2πj) (8.1)
сходится к некоторой 2π-периодической функции F
∗
∈ L
∗1
,
F
∗
(x)
def
=
X
j
f(x + 2πj), (8.2)
а число
ˇ
f(n) представляет собой n-й коэффициент Фурье функ-
ции F
∗
∈ L
∗1
, т.е.
ˇ
f(n) =
1
2π
Z
2π
0
F
∗
(x)e
ixn
dx. (8.3)
Доказательство. Согласно теории (см. лемму 8
∗
) в условиях
доказываемой леммы F
∗
∈ L
∗1
. Поскольку
ˇ
f(x) =
1
2π
Z
f(ξ)e
ixξ
dξ =
1
2π
X
j
Z
2π (j+1)
2π j
f(ξ)e
ixξ
dξ,
то после подстановки ξ
0
= ξ − 2πj найдем
ˇ
f(x) =
1
2π
Z
2π
0
X
j
f(ξ
0
+ 2πj)e
ixξ
0
dξ
0
· e
2π jxi
. (8.4)
При целом n имеем e
2π jni
= 1, и потому из (8.4) для x = n с
учетом обозначения (8.2) получим (8.3), что и требовалось.
27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
