Составители:
Следствие 7. Если в тождестве (10.1) c = 1, то в услови-
ях леммы 6 справедлива эквивалентность
X
j
|Ψ(ξ + 2πj)|
2
≡ 1 ⇐⇒ |G(ξ)|
2
+ |G(ξ + π)|
2
≡ 1. (10.7)
Доказательство. Применяя лемму 6 и учитывая условие
c = 1, из (10.6) найдем (10.7).
Лемма 7. Если 2π-периодические функции H и G разлага-
ются в абсолютно сходящиеся ряды Фурье,
H(ξ) =
X
k
h
k
e
−ikξ
, G(ξ) =
X
j
g
j
e
−ijξ
, (10.8)
то справедлива формула
H(ξ)G(ξ) + H(ξ + π)G(ξ + π) = 2
X
j
e
2jξi
X
k
h
k
g
2j+k
. (10.9)
Доказательство. Ввиду абсолютой сходимости ряды (10.8)
можно перемножать почленно:
H(ξ)G(ξ) =
X
k,j
h
k
g
j
e
(j−k)ξi
. (10.10)
Отсюда
H(ξ + π)G(ξ + π) =
X
k,j
h
k
g
j
e
(j−k)(ξ+π)i
=
=
X
k,j
h
k
g
j
e
(j−k)ξi
(−1)
j−k
. (10.11)
Из (10.10) и (10.11) найдем
H(ξ)G(ξ) + H(ξ + π)G(ξ + π) =
X
k,j
(1 + (−1)
j−k
)h
k
g
j
e
(j−k)ξi
=
37
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
