Составители:
Лемма 8. Если измеримая функция θ, удовлетворяет усло-
вию P (θ) и при некотором c 6= 0
b
θ(2πk) = δ
0,k
c, (11.3)
то множество целочисленных трансляций θ является пред-
ставлением константы c. Обратно, если θ ∈ L
1
и множество
целочисленных трансляций θ представляет константу c, то
выполнено условие (11.3).
Доказательство следует из первой формулы Пуассона,
X
l
θ(x − l) =
X
k
b
θ(2πk)e
2π ikx
. (11.4)
Для первой части теоремы справедливость этой формулы пред-
полагается, а во второй части ее справедливость следует из того,
что θ ∈ L
1
представляет константу c (ибо
P
l
θ(x − l) = c —
конеч но, непрерывная функция, и ряд Фурье ее, очевидно, схо-
дится — см. теорему 1
∗
). Итак, если множество целочисленных
трансляций функции θ ∈ L
1
дает разложение константы, то вви-
ду определения при некотором c 6= 0 левая часть в (11.4) равна c,
откуда следует (11.3). Обратно, из справедливости (11.3) вытека-
ет равенство константе c правой части, что приводит к формуле
(11.1).
Следствие 9. Пусть измеримая функция θ(t) такова, что
множество ее целочисленных трансляций дает разложение еди-
ницы. Тогда справедливо соотношение
Z
θ(t)dt = 1.
Доказательство. Ввиду обстоятельств, упомянутых при до-
казательстве леммы 8, здесь возможно применить первую сум-
мационную формулу Пуассона (11.3) и в ней взять k = 0.
Определение 7. Ненулевую функцию θ(x) будем называть
ортофункцией в L
2
, если множество ее целочисленных трансля-
ций
{θ(x − l) | l ∈ Z}
39
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
