Составители:
алгебраический базис, порождаемый сдвигами и подобным пре-
образованием аргумента некоторой функции.
2
Определение 8. Пусть число α отлично от нуля. Если си-
стема функци й
{ϕ(αx − l) | l ∈ Z} (12.1)
представляет собой базис в векторном пространстве V , то функ-
ция ϕ называется α-образующей для V , а пространство V —
α-порождением функции ϕ. В случае α = 1 функция ϕ называет-
ся образующей для пространства V , и говорят, что V порождено
функцией ϕ.
Теорема 3. Если функция ϕ является 2-образующей для
векторного пространства V
1
из L
2
, то для любой функции
f ∈ V
1
существует последовательность чисел {a
n
} такая, что
выполнены эквивалентные равенства
1)
f(x) = 2
X
n
a
n
ϕ(2x − n), (12.2)
2)
b
f(ξ) = A
f
(ξ/2) bϕ(ξ/2) (12.3)
с 2π-периодической функцией A
f
(ξ), которая получается из функ-
ции f применением к ней оператора χ
ϕ
, определяемого соо тно-
шением
χ
ϕ
: f 7−→ A
f
(ξ),
A
f
(ξ) = χ
ϕ
{f}(ξ)
def
=
X
n
a
n
e
−inξ
; (12.4)
эквивалентность равенств (12.2) и (12.3) понимается в том
смысле, что если функция f ∈ L
2
удовлетворяет одному из них,
то она удовлетворяет и второму.
3
2
В соответствии с общепринятой терминологией алгебраическим бази-
сом векторного пространства называем совокупность линейно независимых
элементов, обладающую тем свойством, что любой элемент пространства
может быть представлен в виде конечной линейной комбинации элементов
упомянутой совокупности.
3
Ввиду предыдущего подстрочного замечания все суммы со знаком
P
,
фигурирующие в этом параграфе, конечны.
41
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
