Составители:
Доказательство. Равенство (12.2) вытекает из условия, что
система {ϕ(2x −l) | l ∈ Z} представляет собой базис в простран-
стве V
1
, а функция f лежит в этом пространстве. Эквивалент-
ность соотношений (12.3) и (12.4) очевидна, поскольку второе из
них получается применением преобразования Фурье к первому,
b
f(ξ) = 2
X
n
a
n
Z
e
−iξx
ϕ(2x − n) dx =
=
X
n
a
n
e
−i
ξ
2
n
Z
e
−i
ξ
2
z
ϕ(z) dz.
Функция A
f
(ξ) называется характеристикой элемента
f ∈ V
1
относительно 2-образующей ϕ (или — в наших рассмот-
рениях — п росто характеристикой элемента f).
Теорема 4. Если в условиях предыдущей теоремы
ϕ ∈ V
1
, (12.5)
то существует последовательность чисел {h
n
} такая, что вы-
полнены эквивалентные равенства
1)
ϕ(x) = 2
X
n
h
n
ϕ(2x − n), (12.6)
2)
bϕ(ξ) = H(ξ/2)bϕ(ξ/2) (12.7)
с 2π-периодической функцией
H(ξ)
def
=
χ
ϕ
ϕ
(ξ) =
X
k
h
k
e
−ikξ
(12.8)
в том смысле, что если функция ϕ ∈ L
2
удовлетворяет одному
из них, то она удовлетворяет и второму.
Доказательство получается применением теоремы 3 к функ-
ции f = ϕ.
42
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
