Составители:
нетрудно построить алгоритм ее определения в двоичных точках
вещественной оси (т.е. в точках вида j2
i
, ∀i, j ∈ Z).
Лемма 10. Если ϕ — масштабирующая функция, удовле-
творяющая условию P (ϕ), и
H(π) = 0, bϕ(0) = 1, (12.13)
то множество целочисленных трансляций функции ϕ дает раз-
ложение единицы.
Доказательство. Согласно лемме 8 достаточно доказать со-
отношение
bϕ(2πk) = δ
0,k
. (12.14)
Ввиду теоремы 4 выполнено соотношение (12.7). Полагая в нем
ξ = 2π, 4π, . . ., с помощью первого соотношения из (12.13) по-
следовательно получаем bϕ(2π) = 0, bϕ(4π) = 0, . . ., что вместе со
вторым соотношением и з (12.13) приводит к (12.14).
Лемма 11. Для функции H(ξ) вида (12.8) справедливы сле-
дующие эквивалентности:
H(π) = 0 ⇐⇒
X
k
(−1)
k
h
k
= 0, (12.15)
H(0) = 1 ⇐⇒
X
k
h
k
= 1. (12.16)
Доказательство каждой из этих эквивалентностей очевид-
ным образом вытекает из представления H(ξ) (см. формулу (12.8)).
Замечание. Соотношения (12.16) справедливы в условиях
теоремы 5 (см. соотношение (12.10)).
§ 13. Примеры масштабирующих функций
1. B-сплайны. Примером масштабирующих функций яв-
ляются B-сплайны.
В дальнейшем характеристическую функцию промежутка
[a, b] будем обозначать χ
[a,b]
. Пусть m — неотрицательное це-
лое число. В дальнейшем m-кратной сверткой функции f при
44
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
