Составители:
Следствие 10. В условиях теоремы 4 множество цело-
численных трансляций функции ϕ лежит в пространстве V
1
.
Доказательство вытекает из соотношений (12.5)–(12.6).
Определение 9. Соотношение (12.6) называется кратно-
масштабным уравнением, функция ϕ называется масштабиру-
ющей для V
1
, а ее характеристика H(ξ)
def
=
χ
ϕ
ϕ
(ξ) — масшта-
бирующим множителем для ϕ.
Теорема 5. В условиях теоремы 4 при выполнении д опол-
нительного предположения
Z
ϕ(x) dx 6= 0 (12.9)
справедливо соотношение
X
n
h
n
= 1. (12.10)
Доказательство. Формула (12.10) получается интегрирова-
нием соотношения (12.6) по всей вещественной оси и использо-
ванием условия (12.9).
Замечание. При весьма общих условиях масштабирующая
функция ϕ(x) в пространстве L
1
(R
1
) однозначно определяется
уравнением (12.6) и нормировочным условием
Z
ϕ(t)dt = 1. (12.11)
С учетом равенства (12.11) применим формулу (12.7) рекурсив-
но. В результате получим бесконечное произведение
bϕ(ξ) =
+∞
Y
j=1
H(2
−j
ξ); (12.12)
на условиях его сходимости здесь не останавливаемся (по это-
му поводу см., например, [5, с. 292]). Явное представление упо-
мянутой функции на всей вещественной оси при фиксации ко-
эффициентов h
n
в большинстве случаев затруднительно, однако
43
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
