Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

6) при t ∈ (0, 1) справедливы соотношения
6.1)
d
k
dt
k
m
ω
B
(t) =
m−k
ω
B
(t), k = 0, 1, . . . , m,
6.2)
m
ω
B
(t) = t
m
/m!.
Доказательство. Для доказательства прежде всего заме-
тим, что из определения 5 вытекает рекуррентная формула
j+1
ω
B
=
j
ω
B
∗ χ
[0,1]
;
перепишем ее в эквивалентном виде
j+1
ω
B
(t) =
Z
j
ω
B
(t − x)χ
[0,1]
(x) dx.
Благодаря определению характеристи чес кой функции χ
[0,1]
, с
помощью зам ены переменных x 7→ x
0
, x
0
= t − x, находим
j+1
ω
B
(t) =
Z
1
0
j
ω
B
(t − x) dx = −
Z
t−1
t
j
ω
B
(x
0
) dx
0
,
откуда
j+1
ω
B
(t) =
Z
t
t−1
j
ω
B
(x
0
) dx
0
. (13.4)
Поскольку функция
0
ω
B
def
=
χ
[0,1]
(13.5)
неотрицательна, то ввиду формулы (13.4) последовательно опре-
деляем неотрицательные функции
j
ω
B
(t) при j = 1, 2, . . .
Утверждения 1) и 2) доказываемой теоремы легко получают-
ся полной математической индукцией по m. Будем доказывать
их одновременн о. Базой инд укци и сл ужат равенство
supp
0
ω
B
= [0, 1] и положительность функции
0
ω
B
во внутрен-
них точках своего носи теля, оч евидн ым образом вытекающие из
определения 10 (см. также формулу (13.5)).
46

Страницы