Составители:
При доказательстве свойства 5) достаточно увидеть, что фор-
мула для преобразования Фурье от B-сплайна получается при-
менением упомянутого преобразования к свертке (13.1) с учетом
леммы 2 и очевидных соотношений
d
0
ω
B
= dχ
[0,1]
=
Z
1
0
e
−iξx
dx =
1 − e
−iξ
iξ
.
Перейдем к доказательству свойства 6). Дифференцируя со-
отношение (13.4) при j = 1, 2, . . . , m − 1, получим
d
dt
j+1
ω
B
(t) =
j
ω
B
(t) −
j
ω
B
(t − 1). При t ∈ (0, 1) значение аргумента t − 1 не
лежит в носителе функции
j
ω
B
, и потому
d
dt
j+1
ω
B
(t) =
j
ω
B
(t).
Заметим, что это соотношение верно и для j = 0, поскольку
1
ω
B
(t) =
Z
1
0
0
ω
(t − x) dx =
(
t при 0 ≤ t < 1,
2 − t при 1 ≤ t ≤ 2,
0 при t /∈ [0, 2],
и потому имеем
d
dt
1
ω
B
(t) = 1 при t ∈ (0, 1). Итак, соотношение
d
dt
j+1
ω
B
(t) =
j
ω
B
(t) справедливо для j = 0, 1, . . . , m − 1, t ∈ (0, 1).
k-кратное применение этого соотношения к функции
m
ω
B
дока-
зывает свойство 6.1) при k = 0, 1, 2, . . . , m . Поскольку
m−k
ω
B
∈
C
m−k−1
(R
1
) и supp
m−k
ω
B
= [0, m +1], то при k = 0, 1, 2, . . . , m −1
на левом конце носителя функция
m−k
ω
B
обращается в нуль:
m−k
ω
B
(0) = 0. Благодаря свойству 6.1) отсюда получаем
d
k
dt
k
m
ω
B
(0) =
0, k = 0, 1, . . . , m − 1.
Рассмотрение свойства 6.1) при k = m −1, t ∈ (0, 1) приводит
к р авенс тву
d
m−1
dt
m−1
m
ω
B
(t) =
1
ω
B
(t), ди фференц ировани е послед-
него теперь дает
d
m
dt
m
m
ω
B
(t) = 1. Итак,
d
j
dt
j
m
ω
B
(+0) = δ
m,j
, j =
0, 1, . . . , m. Из этих соотношений следует свойство 6.2).
Теорема полностью доказана.
Теорема 7. B-сплайн
m
ω
B
удовлетворяет следующему кратно-
масштабному уравнению:
m
ω
B
(t) = 2
−m
m+1
X
j=0
m + 1
j
m
ω
B
(2t − j). (13.8)
48
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
