Составители:
Теорема 8. Справедливы следующие утверж дения:
1) преобразованием Фурье функции Шеннона служит харак-
теристическая функция промежутка [−π, π],
c
ϕ
S
(ξ) = χ
[−π ,π]
(ξ); (13.10)
2) функция Шеннона удовлетворяет масштабирующему урав-
нению
ϕ
S
(x) = 2
X
n
h
n
ϕ
S
(2x − n),
h
n
def
=
1
πn
sin
πn
2
; (13.11)
3) в образах Фурье масштабирующее уравнение имеет вид
c
ϕ
S
(ξ) = H
S
ξ
2
c
ϕ
S
ξ
2
, (13.12)
где
H
S
(ξ) =
X
n
h
n
e
−inξ
, (13.13)
а коэффициенты h
n
определяются по формуле (13.11).
Доказательство. Пункт 1) устанавливается применением об-
ратного преобразования Фурье к характе рис тиче ской функции
промежутка [−π, π]; следующая ц епоч ка равенств служит дока-
зательством этого пункта:
F
−1
χ
[−π ,π]
(x) =
1
2π
Z
π
−π
e
ixξ
dξ =
=
1
2π
e
iπ x
− e
−iπx
ix
=
sin πx
πx
.
Теперь докажем пункт 3). Для этого заметим, что согласно
только что установленной формуле (13.10)
c
ϕ
S
(ξ) =
1 при |ξ| ≤ π,
0 при |ξ| > π,
50
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
