Составители:
Предполагая теперь, что supp
j
ω
B
= [0, j + 1] и что функ-
ция
j
ω
B
положительна во внутренних точках своего носителя,
из формулы (13.4) видим, что для случаев, когда пересечение
(t −1, t)
T
[0, j + 1] пусто, подынтег ральная функция в (13.4) рав-
на нулю; последнее эквивалентно выполнению одного из соотно-
шений
t < 0 или j + 2 < t. (13.6)
Благодаря неравенствам (13.6) можно утверждать, что
supp
j+1
ω
B
∈ [0, j + 2]. (13.7)
Заметим теперь, что если t ∈ (0, j + 2), то пересечение ин-
тервала (t − 1, t) с носителем функции
j
ω
B
заведомо содержит
внутренние точки; ввиду предположения индукц ии эта функция
положител ьна во внутренних точках, и, значит, интеграл (13.4)
положител ен .
Итак, с одной стороны, в упомянутых точках функция
j+1
ω
B
отличн а от нуля, так что из (13.7) следует равенство supp
j
ω
B
=
[0, j + 2], а с другой стороны,
j+1
ω
B
(t) > 0 при t ∈ (0, j + 2).
Полная математическая индукция для пунктов 1) и 2) закончена,
утвержден ия 1) и 2) доказаны.
Базой полной математической индукции для доказательства
пункта 3) служит тот очевидный факт, что по определению (см.
также (13.5)) функция
0
ω
B
— многочлен нулевой степени.
Для доказательства пункта 4) следует заметить, что интегри-
рование в (13.4) повышает гладкость на е дин иц у, так что исходя
из очевидного соотношения
0
ω
B
∈ C
−1
(R
1
)
приходим к импликации (13.2).
47
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
