Составители:
образует ортогональную систему в L
2
,
hθ(·), θ(· − l)i = 0, l 6= 0, ∀l ∈ Z. (11.6)
Если выполнено условие
hθ(·), θ(· − l)i = δ
0,l
, ∀l ∈ Z, (11.7)
то функцию θ(x) будем называть ортонормальной.
Лемма 9. Пусть функция θ(x) удовлетворяет условию P (θ).
Для того чтобы функция θ была ортофункцией, необходимо и
достаточно, чтобы ее преобразование Фурье почти везде удо-
влетворяло соотношению
X
k
|
b
θ(ξ + 2πk)|
2
≡ c, (11.8)
где c — некоторая отличная от нуля константа. Для того
чтобы функция θ была ортонормальной необходимо и доста-
точно, чтобы тождество (11.8) выполнялось с константой
c = 1.
Доказательство. По второй формуле Пуассона (см. (9.5))
при f = g = θ найдем
X
l
hθ(·), θ(· − l)ie
−ilξ
=
X
k
|
b
θ(ξ + 2πk)|
2
, (11.9)
и потому равенство (11.7) эквивалентно соотношению (11.8). Эк-
вивалентность ортонормальности θ и соотношения (11.8) при
c = 1 также вытекает из (11.9).
§ 12. Кратно-масштабное уравнение
и масштабирующая функция
Рассмотрим векторн ое пространство (линейную систему) V ,
лежащее в пространстве L
2
. В дальнейшем в V рассматривается
40
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
