Составители:
необходимо и достаточно, чтобы было выполнено любое из усло-
вий
1)
H(ξ)G(ξ) + H(ξ + π)G(ξ + π) ≡ 0, (17.1)
2)
X
k
h
k
g
2j+k
= 0 ∀j ∈ Z. (17.2)
Доказательство. Согласно теореме 10 ортогональность про-
странств V
0
и W
0
эквивалентна соотношению (15.2),
X
j
bϕ(ξ + 2πj)
b
ψ(ξ + 2πj) ≡ 0. (17.3)
Поскольку ϕ — масштабирующая ортофункция (по условию),
то согласно лемме 9 выполнено соотношение (11.8) при θ = ϕ, а
тогда при F = bϕ, Φ = bϕ, Ψ =
b
ψ справедливы условия леммы 5 и
следствия 6 из нее (см. (10.5)), так что (17.3) эквивалентно (17.1).
Эквивалентность (17.1) и (17.2) следует из леммы 7.
Пусть a(ξ) — функц ия, удовлетворяющая почти везде тожде-
ству
G(ξ) ≡ a(ξ)H(ξ + π). (17.4)
Следствие 11. Пусть выполнено условие A
0
, и функция ϕ
является ортофункцией. Тогда ортогональность пространств
V
0
и W
0
эквивалентна тому, что функция a(ξ) обладает свой-
ством
a(ξ) = −a(ξ + π).
Доказательство. Заметим, что ввиду периодичности H(ξ)
из (17.4) получим
G(ξ + π) ≡ a(ξ + π)H(ξ). (17.5)
В силу теоремы 12 ортогональность пространств V
0
и W
0
экви-
валентна тождеству
H(ξ)G(ξ) + H(ξ + π)G(ξ + π) = 0. (17.6)
56
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
