Составители:
Подставив (17.4) и (17.5) в тождество (17.6), после сокращения
на H(ξ)H(ξ + π) найдем a(ξ) + a(ξ + π) = 0.
§ 18. Ортонормальные всплески и их свойства
При предположении A
0
необходимые условия ортонормаль-
ности дл я всплесков (вейвлетов) на целочисленной сетке анало-
гичны таковым для масштабирующей функции; при этом они
становятся также достаточными.
Теорема 13. Предположим, что выполнены условия A
0
и
масштабирующая функция ϕ ортонормальна. Для того чтобы
образующий всплеск ψ(x) был ортонормальным, необходимо и
достаточно выполнение любого из двух эквивалентных соотно-
шений
1)
|G(ξ)|
2
+ |G(ξ + π)|
2
≡ 1, (18.1)
2)
X
k
g
k
g
k−2j
=
1
2
δ
0,j
. (18.2)
Доказательство. Ввиду ортонормальности масштабирующей
функции ϕ согласно лемме 9 выполнено соотношение (11.8) с
θ = bϕ, c = 1. Отсюда видно, что ортонормальность ψ (см. (11.8)
теперь при θ =
b
ψ) эквивалентна (см. формулу (10.7) при Ψ =
b
ψ)
соотношению (18.1). Эквивалентность (18.1) и (18.2) вытекает из
следствия 8, примененного при H = G.
§ 19. Ортонормальные всплески
в ортогональном разложении
Теорема 14. Пусть выполнены условия A
0
, масштабирую-
щая функция ϕ ортонормальна, а функция a(ξ) удовлетворяет
условию
G(ξ) = a(ξ)H(ξ + π).
57
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
