Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

При k = 0 имеем A
0
= I, где I — единичная матрица.
Доказательство этой леммы проводится индукцией по k.
Базой индукции может служить случай k = 0, в котором A
k
k=0
=
A
0
= I.
Индукционный переход следует производить в двух нап рав-
лениях: от k к k + 1 и от k к k − 1.
Проведем сначала его для первого направления, переходя от
k к k + 1. Обозначая через b
γβ
элемент произведения A
k
A =
A
k
A = A
k+1
, дл я γ ≥ β имеем
4
b
γβ
=
m
X
α=0
a
(k)
γα
a
(1)
αβ
=
X
β≤α≤γ
γ
α
k
γ−α
α
β
=
=
X
β≤α≤γ
γ!
α!(γ − α)!
·
α!
β!(α − β)!
k
γ−α
=
=
γ!
β!(γ − β)!
X
β≤α≤γ
(γ − β)!
(γ − α)!(α − β)!
k
γ−α
=
=
γ
β
X
β≤α≤γ
γ − β
γ − α
k
γ−α
;
заменяя в последней сумме индекс α на α
0
= γ − α, последо-
вательно находим −γ ≤ −α ≤ −β, 0 ≤ γ − α ≤ γ − β, откуда
0 ≤ α
0
≤ γ − β и
b
γβ
=
γ
β
X
0≤α
0
≤γ−β
γ − β
α
0
k
α
0
=
γ
β
(k + 1)
γ−β
,
что и требовалось.
Обращаясь ко второму направлению, заметим, что
A
−1
1
= A
−1
, ибо согласно предыдущим выкладкам при k = −1
приходим к равенству
P
m
α=0
a
(−1)
γα
a
(1)
αβ
= δ
γ,β
, где δ
γ,β
— символ
Кронекера. Таким образом, произведение A
k
A
−1
= A
k
A
−1
=
4
Случай γ < β рассматривать нет необходимости, ибо произведение ниж-
нетреугольных матриц дает нижнетреугольную матрицу.
85

Страницы