Всплески и минимальные сплайны. Демьянович Ю.К. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

при условии
supp ω
(l
0
,s
0
,µ
0
)
= [−s
0
, l
0
]; (3.11)
здесь µ
(k)
α
– компоненты вектора µ
0
, определяемого равенством
(3.9), α = 0, 1, . . . , m. По лемме 4 системе (3.10), (3.11) удовле-
творяет функция
ω
k
(t)
def
=
ω
(l,s,µ)
(t − k),
и потому ввиду единственности решения
ω
(l
0
,s
0
,µ
0
)
(t) = ω
(l,s,µ)
(t − k).
Теперь ясно, что базис пространства
˜
X
0
(l
0
,s
0
,µ
0
)
получается из ба-
зиса пространства
˜
X
0
(l,s,µ)
целочисленным сдвигом аргумента. Из-
за инвариантности множества элементов базиса при таком пре-
образовании приходим к равенству (3.8).
Достаточность доказана.
Необходимость. При доказательстве необходимости требует-
ся установить, что в условиях (3.7) из равенства (3.8) следуют
соотношения (3.9).
Аналогично доказательству теоремы 1 нетрудно проверить,
что из равенства (3.8) следует совпадение базисных функций
пространств
˜
X
0
(l
0
,s
0
,µ
0
)
и
˜
X
0
(l,s,µ)
. Следовательно, справедливо со-
отношение
ω
(l
0
,s
0
,µ
0
)
(t) = ω
(l,s,µ)
(t − k),
где k = l
0
− l. Согласно лемме 4 функция ω
k
(t)
def
=
ω
(l,s,µ)
(t − k)
удовлетворяет аппроксимационным соотношениям с вектором
¯µ
def
=
A
k
µ. Теперь сравнивая аппроксимационные соотношения для
функций ω
(l
0
,s
0
,µ
0
)
(t) и ω
k
(t), приходим к равенству (3.9). Необ-
ходимость установлена.
Следствие 1. Каковы бы ни были фиксированные целые
l, s, l + s = m + 1, множество {
˜
X
0
(l,s,µ)
}
µ∈M
содержит все-
возможные пространства минимальных сплайнов степени m
на целочисленной сетке, и при различных µ эти пространства
различны.
88

Страницы