Составители:
при t ∈ (k, k + 1), k = 1, 2, . . . , m,
позволяют определить этот сплайн на промежутках (1, 2),
(2, 3), . . . , (m, m + 1).
Доказательство. Прежде всего заметим, что соотношения
(4.9) можно рассматривать, как систему линейных алгебраиче-
ских уравнений относительно неизвестных чисел ω
(µ)
(τ + j), j =
0, 1, . . . , m, с упомянутой выше треугольной матрицей C. Обра-
щая матр ицу C и полагая t = τ + k, отсюда получаем
ω
(µ)
(t) =
k
X
j=0
¯c
j
P
(µ)
(t − j), t ∈ (k, k + 1). (4.13)
Для доказательства теоремы осталось установить с правед ли -
вость формул
¯c
j
= (−1)
j
m + 1
j
. (4.14)
Для этого составим произведение матриц C и
¯
C. Элемент d
ij
матрицы произведения при i < j очевидно равен нулю, а для
i ≥ j имеем
d
ij
= c
i−j
¯c
0
+ c
i−j−1
¯c
1
+ . . . + c
0
¯c
i−j
=
=
i−j
X
s=0
c
i−j−s
¯c
s
=
i−j
X
s=0
m + i − j − s
m
(−1)
s
m + 1
s
.
Отсюда видно, что при i = j последняя сумма равна единице,
d
ii
= 1. При i ≥ j эта сумма оказывается равной нулю,
d
ij
= 0;
для доказательства можно воспользоваться формулой 4.2.5.60 из
книги [22, с. 620]:
n
X
k=0
(−1)
k
m
k
m + n − k − 1
m − 1
= 0,
95
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
