Составители:
Теперь из очевидного тождества
A(t)B (t) ≡ 1
получим
1 ≡
+∞
X
j=0
m+1
X
k=0
c
j
¯c
k
t
j+k
.
Отсюда после подстановки j 7→ i, j + k = i, "приравнивания коэффи-
циентов при одинаковых степенях", выводим
X
j+k=i,0≤k≤m+1,j≥0
c
j
¯c
k
=
X
0≤k≤min{m+1,i}
c
i−k
¯c
k
= δ
i,0
,
где δ
i,0
— символ Кронекера. Отсюда следует, что произведение C
¯
C
представляет собой единичную матрицу. На этом вывод формулы (4.14)
завершается.
Теорема полностью доказана.
Следствие 2. Каков бы ни был многочлен степени m со
старшим коэффициетом 1/m!, существует приведенный обра-
зующий сплайн, для которого этот многочлен является харак-
теристическим.
Для доказательства подставим данный многочлен в левую
часть тождества (4.4) и определим оттуда числа µ
α
; легко ви-
деть, что они определятся однозначно, причем µ
0
окажется рав-
ным единице. Теперь искомый сплайн определяется с помощью
формул (4.13), (4.14).
Теорема 5. Для того чтобы при некотором i из множе-
ства
{0, 1, . . . , m − 1}
производная i-го порядка от функции ω
(µ)
(t) была непрерывна,
ω
(i)
(µ)
∈ C(R
1
), (4.15)
необходимо и достаточно, чтобы i-я производная характери-
стического многочлена при t = 0 обращалась в нуль,
P
(i)
(µ)
(0) = 0. (4.16)
97
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
