Составители:
в которой следует заменить m на m + 1, n на i, а k на s.
Впрочем, представление (4.14) достаточно просто получается и без
ссылки на формулу 4.2.5.60 из только что упомянутой книги. Наметим
ход рассуждений.
Рассмотрим функции
A(t) = (1 −t)
−(m+1)
, B (t) = (1 − t)
m+1
.
Нетрудно видеть, что
A(t) =
+∞
X
j=0
c
j
t
j
, B (t) =
m+1
X
j=0
¯c
j
t
j
,
где числа c
j
и ¯c
j
даются ф ормулами (4.11) и (4.14) соответственно.
Действительно, из математического анализа известна формула
(1 + x)
α
= 1 +
α
1!
x +
α(α − 1)
2!
x
2
+ . . . +
α(α − 1) . . . (α − k + 1)
1!
x
k
+ . . .
справедлива в круге |x| < 1 для вещественных α. Положим здесь сна-
чала α = −(m + 1), x = −t; тогда
A(t) = (1 −t)
−(m+1)
= 1 +
−m − 1
1!
(−t) +
(−m − 1)(−m − 2)
2!
(−t)
2
+ . . .
. . . +
(−m − 1)(−m − 2) . . . (−m − k)
k!
(−t)
k
+ . . . =
= 1+
m + 1
1!
t+
(m + 1)(m + 2)
2!
t
2
+. . .+
(m + 1)(m + 2) . . . (m + k)
k!
t
k
+. . . =
= 1 +
m + 1
1
t) +
m + 2
2
t
2
+ . . . +
m + k
k
t
k
+ . . . =
=
+∞
X
j=0
m + j
j
t
j
=
+∞
X
j=0
c
j
t
j
.
При α = m + 1, x = −t найдем
B (t) = (1 − t)
m+1
=
m+1
X
k=0
(−1)
k
m + 1
k
t
k
=
m+1
X
k=0
¯c
k
t
k
.
96
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- …
- следующая ›
- последняя »
