Составители:
Доказательство. Эквивалентность формул (4.15) и
(4.16) легко вытекает из тождества (4.13). Действительно, при
переходе от интервала (n − 1, n) к интервалу (n, n + 1) в сумме
непрерывных в точке n функций (4.13) добавляется одно слага-
емое, так что непрерывность результирующей функции в точке
n эквивалентна тому, что добавленное слагаемое обращается в
нуль при t = n. Этим доказывается утверждение для i = 0. При
других i оно доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Замечание 2. Поскольку B-сплайн m-й степени – функция
класса C
m−1
(R
1
), то ясно, что на промежутке (0, 1) он должен
представляться многочленом степени m, который вместе с по-
следовательными производными вплоть до m − 1 порядка обра-
щается в 0 в точке t = 0, т.е. многочленом вида ct
m
, где c —
некоторая константа. В предыдущей главе B-сплайн m-й сте-
пени
m
ω
B
(t) построен как m-кратная свертка характеристиче-
ской функции χ
[0,1]
(t) множества [0, 1]. Согласно утверждению
1.6) теоремы 6 предыдущей главы при t ∈ (0, 1) верно тожде-
ство
m
ω
B
(t) = t
m
/m!; последнее означает, что характеристиче-
ский многочлен
m
P
B
(t) этого сплайна имеет вид
m
P
B
(t) = t
m
/m!. (4.17)
Из (4.12) получим формулу
m
ω
B
(t) =
k
X
j=0
¯c
j
m
P
B
(t − j), t ∈ (k, k + 1), k = 0, 1, . . . , m,
(4.18)
являющуюся известным представлением B-сплайна с помощью
"усеченных степеней".
Теорема 6. Вектор µ выраж ается через образующий сплайн
по формулам
µ =
m
X
j=0
ϕ(j)ω
(µ)
(j + 0). (4.19)
98
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
