Введение в теорию вейвлетов. Демьянович Ю.К - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Обозначим V
(2)
пространство функций, которые постоянны на про-
межутках [0, 1/4), [1/4, 1/2), [1/2, 3/4), [3/4, 1). Вообще будем использо-
вать обозначение V
(k)
для пространства кусочно-постоянных функций,
каждая из которых постоянна на промежутках вида [s/2
k
, (s + 1)/2
k
),
где s = 0, 1, 2, . . . , 2
k
−1. Любую функцию f(t) пространства V
(k)
можно
представить в виде линейной комбинации функций ω
k,s
(t):
f(t) =
2
k
−1
X
s=0
c
s
ω
k,s
(t), (4.2)
где c
s
def
=
f(s/N); при этом представление вида (4.2) единственно (для до-
казательства достаточно воспользоваться определением функций ω
k,s
(t),
см. формулу (3.5), и вычислить левую и правую части соотношения (4.2)
в точках s/N, s = 0, 1, . . . , 2
k
− 1). Очевидно, что
V
(k)
⊂ V, (4.3)
Заметим, что функция ω
k,2l
(t) равна единице на промежутке
[2l/2
k
, (2l + 1)/2
k
), а вне его равна нулю, и при 0 ≤ l ≤ 2
k−1
− 1 функ-
ция ω
k,2l+1
(t) равна единице на промежутке [2l +1/2
k
, (2l +2)/2
k
), а вне
его равна нулю; следовательно, сумма ω
k,2l
(t) + ω
k,2l+1
(t) равна единице
на промежутке [2l/2
k
, (2l + 2)/2
k
), а вне его равна нулю. Как следует
из определения (см. (3.5)) функция ω
k−1,l
(t) равна нулю вне промежут-
ка [l/2
k−1
, (l + 1)/2
k−1
) и равна единице на этом промежуке; очевидно,
последний промежуток совпадает с тем, на котором отлична от нуля
рассматриваемая сумма. Легко видеть, что функция ω
k−1,l
(t) и сумма
ω
k,2l
(t) + ω
k,2l+1
(t) сопадают:
ω
k−1,l
(t) ≡ ω
k,2l
(t) + ω
k,2l+1
(t). (4.4)
Используя формулу (3.5), соотношение (4.4) перепишем в виде
ω(2
k−1
t − l) ≡ ω(2
k
t − 2l) + ω
(
2
k
t − 2l − 1),
а производя здесь подстановку x = 2
k−1
t − l, приходим к тождеству
ω(x) ≡ ω(2x) + ω(2x − 1). (4.5)
Тождество (4.5) является примером так называемого кратно-масштаб-
ного уравнения; функция ω(x) называется масштабирующей функцией.
14

Страницы