Введение в теорию вейвлетов. Демьянович Ю.К - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Благодаря соотношению (4.4) ясно, что
V
(0)
⊂ V
(1)
⊂ V
(2)
⊂ . . . ⊂ V
(k)
⊂ V
(k+1)
. . . . (4.6)
§5. Ортогональность вэйвлетных пространств
Множество функций можно рассматривать как векторное простран-
ство. Для двух функций f(t) и g(t) из пространства V определим ска-
лярное произведение и норму ("длину") формулами
(f, g)
def
=
Z
1
0
f(t)g(t)dt, ||f||
def
=
p
(f, f). (5.1)
Напомним, что функции f, g ∈ V со свойством (f, g) = 0 называются
ортогональными. Если же V
0
и W
0
— линейные пространства, содержа-
щиеся в пространстве V (их называют подпространствами простран-
ства V ), и при этом для любых f ∈ V
0
и любых g ∈ W
0
верно соотноше-
ние (f, g) = 0, то пространства V
0
и W
0
называют ортогональными и
пишут V
0
⊥W
0
. Рассмотрим множество U
0
, состоящее из элементов вида
u = f + g, где f пробегает все пространство V
0
, а g пробегает все про-
странство W
0
; U
0
также является линейным пространством. Если при
этом V
0
⊥W
0
, то говорят, что пространство U
0
разлагается в ортогональ-
ную сумму пространств V
0
и W
0
и пишут
U
0
= V
0
⊕ W
0
.
Перейдем к построению ортогональной суммы пространств в инрте-
ресующем нас случае. Нетрудно видеть (проверяется интегрированием,
см. формулы (5.1)), что справедливы соотношения
(ω
k,l
, ω
k,s
) = 0, (w
k,l
, w
k,s
) = 0 при l 6= s, l, s ∈ {1, 2, . . . , 2
k
− 1}, (5.2)
(ω
k,p
, w
k,q
) = 0 при любых p, q ∈ {1, 2, . . . , 2
k
− 1}, (5.3)
||ω
k,l
|| = ||w
k,l
|| = 2
−k/2
при l ∈ {1, 2, . . . , 2
k
− 1}. (5.4)
Из формул (4.2) и (5.3) следует, что любая функция f ∈ V
(k)
ортого-
нальна функциям w
k,q
.
15

Страницы