Введение в теорию вейвлетов. Демьянович Ю.К - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим множество W
(k)
функций вида
w(t) =
2
k
−1
X
q=0
b
q
w
k,q
, (5.5)
где b
q
— любые вещественные числа; очевидно, что это множество явля-
ется линейным пространством. Из формул (4.2), (5.3) и (5.5) вытекает,
что любая функция w ∈ W
(k)
ортогональна любой функции f ∈ V
(k)
:
(f, w) = 0 ∀f ∈ V
(k)
∀w ∈ W
(k)
.
Таким образом, пространства V
(k)
и W
(k)
ортогональны.
Заметим, что в левой части представления (3.18) находится элемент
пространства V
(k)
, первая сумма правой части является элементом про-
странства V
(k−1)
, а вторая сумма правой части — элемент пространства
W
(k−1)
; здесь k = 1, 2, , 3, . . .. Из формул (3.19) следует, что каковы бы
ни были числа a
l
и b
l
найдутся числа c
s
такие, что справедливо пред-
ставление (3.18); обратно, по произвольным числам c
s
найдутся числа
a
l
и b
l
, при которых верно тождество (3.18). Это означает, что сумма
любых двух элементов из пространств V
(k−1)
и W
(k−1)
является эле-
ментом пространства V
(k)
; наоборот, любой элемент пространства V
(k)
может быть представлен в виде суммы элементов из пространств V
(k−1)
и W
(k−1)
и при том единственным способом. Учитывая ортогональность
пространств V
(k−1)
и W
(k−1)
, видим, что пространство V
(k)
разлагается
в ортогональную сумму подпространств V
(k−1)
и W
(k−1)
:
V
(k)
= V
(k−1)
⊕ W
(k−1)
. (5.6)
Заметим, что поскольку V
(k)
⊥W
(k)
, то из (4.9) следует ортогональность
пространств W
(k−1)
и W
(k)
:
W
(k−1)
⊥W
(k)
(5.7)
Введем множество
V
(∞)
def
=
+∞
[
k=0
V
(k)
. (5.8)
Легко видеть, что V
(∞)
— линейное пространство. Действительно, ввиду
вложенности объединяемых пространств (см. формулу (4.6)) для любых
элементов f
1
, f
2
∈ V
(∞)
найдется k
0
≥ 1 такое, что f
1
, f
2
∈ V
(k
0
)
; ввиду
16

Страницы