Введение в теорию вейвлетов. Демьянович Ю.К - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

ДОПОЛНЕНИЕ 2.
ОДИН АЛГОРИТМ СЖАТИЯ ИНФОРМАЦИИ.
РЕАЛИЗАЦИЯ СЖАТИЯ. ОПИСАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
1. Построение сплайн-вэйвлетного разложения на неравно-
мерной сетке
На интервале (α, β) вещественной оси рассмотрим сетку
X : . . . < x
−1
< x
0
< x
1
< . . . ,
и положим
α = lim
j→−∞
x
j
, β = lim
j→+∞
x
j
∀j ∈ Z;
здесь Z — множество всех целых чисел.
Полиномиальный B-сплайн ω
B
j
второй степени на сетке X можно
задать формулами:
ω
B
j
(t) = (t − x
j
)
2
(x
j+1
− x
j
)
−1
(x
j+2
− x
j
)
−1
при t ∈ [x
j
, x
j+1
), (1.1)
ω
B
j
(t) = (x
j+2
− x
j
)
−1
(x
j+2
− x
j+1
)
−1
(x
j+3
− x
j+1
)
−1
×
×[(x
j
− x
j+2
− x
j+3
+ x
j+1
) t
2
− 2(x
j+1
x
j
− x
j+2
x
j+3
) t + x
j
x
j+1
x
j+3
−
−x
j
x
j+2
x
j+3
+ x
j
x
j+1
x
j+2
− x
j+1
x
j+2
x
j+3
] при t ∈ [x
j+1
, x
j+2
), (1.2)
ω
B
j
(t) = (t − x
j+3
)
2
(x
j+3
− x
j+2
)
−1
(x
j+3
− x
j+1
)
−1
при t ∈ [x
j+2
, x
j+3
], (1.3)
ω
B
j
(t) = 0 при t /∈ [x
j
, x
j+3
], так что supp ω
B
j
= [x
j
, x
j+3
]. (1.4)
В дальнейшем нам понадобятся суммы вида
P
j
ω
B
j
(t); заметим, что
при фиксированном t ∈ (α, β) в таких суммах имеется не более трех
ненулевых слагаемых.
Линейное пространство функций, непрерывно дифференцируемых в
точках открытого интервала (α, β), обозначим C
1
(α, β). Нетрудно про-
верить, что ω
B
j
∈ C
1
(α, β) (достаточно непрерывность функции ω
B
j
(t) и
ее производной установить в узлах x
j
, x
j+1
, x
j+2
, x
j+3
). В пространстве
C
1
(α, β) рассмотрим линейные функционалы g
(i)
, i ∈ Z, определяемые
формулой
hg
(i)
, ui
def
=
u(x
i+1
) + (x
i+2
− x
i+1
)u
0
(x
i+1
)/2 ∀u ∈ C
1
(α, β).
34

Страницы