Составители:
Рис. 2. График кусочно постоянной функции (3.2)
Для того, чтобы подобный график был близок к графику функции
u(t) следует взять по-больше точек деления, а в качестве констант c
i
можно взять значения функции u(t) в конце каждого из отрезков, на
которые подразделен отрезок [0, 1]. Рассматривая последовательность
подразделений отрезка [0, 1] на N равных частей, где N = 2
k
, k —
натуральное число, имеем
eu(t) = c
0
χ
[0,1/N)
(t) + c
1
χ
[1/N,2/N)
(t) + . . . + c
N−1
χ
[N−1/N,1)
(t), (3.3)
где c
s
= u(s/N).
Обратим внимание на то, что в слагаемых правой части равенства
(3.3) фигурирует одна и та же функция (3.1), у которой аргумент пре-
образован подходящим образом; действительно,
χ
[s/2
k
,(s+1)/2
k
)
(t) = χ
[0,1)
(2
k
t − s), s = 0, 1, . . . , 2
k
− 1. (3.4)
Поскольку в подобных рассуждениях может использоваться не толь-
ко характеристическая фукция единичного интервала, но и другие функ-
ции, то введем более удобное обозначение для рассматриваемых функ-
ций, а именно, положим
ω(t)
def
=
χ
[0,1)
(t), ω
k,s
(t)
def
=
ω(2
k
t − s). (3.5)
Функция ω(t) в соотношениях (3.5) назывется масштабирующей; из ω(t)
получаются функции ω
k,s
(t) масштабированием (умножением на 2
k
) и
сдвигом аргумента (вычитанием числа s ). Теперь соотношение (3.2) мож-
но переписать в виде
eu(t) = c
0
ω
2,0
(t) + c
1
ω
2,1
(t) + c
2
ω
2,2
(t) + c
3
ω
2,3
(t); (3.6)
заметим, что в рассматриваемом случае k = 2. В общем случае (см.
(3.3) при L = 2
k−1
) получаем
eu(t) = c
0
ω
k,0
(t) + c
1
ω
k,1
(t) + c
2
ω
k,2
(t) + . . . + c
2
k
−1
ω
k,2
k
−1
(t). (3.7)
Напомним, что замыкание множества, на котором функция отлична от
нуля, называется носителем этой функции. Например, функция ω
2,0
(t)
отлична от нуля на промежутке [0, 1/4), так что ее носитель — отрезок
[0, 1/4], носителем функции ω
2,1
(t) является отрезок [1/4, 1/2] и т.д.;
вообще, носителем функции ω
k,s
(t) является отрезок [s/2
k
, (s + 1)/2
k
]
(см. Рис. 3).
9
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
