Составители:
{ } { }
01
,
kk
kk
ab
∞∞
= =
. В общем случае элементы цепной дроби
( )
0
, , 1, 2,
kk
aab k= −
вещественные
или комплексные числа или функции одной или нескольких переменных. Выражения
11 1 1
0 0 00 0
22 2
1
11 1
3
22
2
3
1
, , ,,
n
n
n
bb b b
a a aa a
bb b
a
aa a
b
aa
a
a
b
a
a
−
++ + +
++ +
+
+
+
называются соответственно первой, второй, третьей, … ,
n −
й подходящей дробью Для данной бесконечной
дроби и обычно обозначаются
12
12
, , ,.
n
n
PP P
QQ Q
При работе на ЭВМ подходящие цепные дроби удобно
находить с помощью следующей последовательности операций:
1
1 11
2 22
1
2
1
1
1
1
0
1
,
,
,
,
,,
,.
n
n
n
n
c
nk
k k nk k
k
n
n nn
nn
b
c
a
da c
da c
b
c
d
b
c da c
d
bP
c dac
dQ
−
−
−
−+
−
−
−
=
= +
= +
=
= = +
= =+=
Указанная последовательность действий легко программируется.
Для числителей и знаменателей подходящих дробей имеют место следующие рекуррентные формулы:
12
,
n nn nn
P aP bP
−−
= +
12
,
n nn nn
Q aQ bQ
−−
= +
( )
1, 2, ,n =
где
1 1 000
1, 0, , 1.P Q PaQ
−−
= = = =
Цепная дробь (2.21) называется сходящейся, если существует конечный предел
A
подходящей дроби
/
nn
PQ
при
:n →∞
lim ,
n
n
n
P
A
Q
→∞
=
причём число
A
принимается значение этой дроби. Если же предел не существует, то цепная дробь (2.21)
называется расходящейся. Для сходящейся цепной дроби подходящая дробь
/
nn
PQ
является её
приближённым значением.
2. Разложение
x
e
в цепную дробь. Пользуемся следующим разложением:
22 2
12
0,, ,,,, ,.
1 2 6 10 4 2
x
xx x x
e
xn
−
=
++
(2.22)
Для любого
x
эта дробь сходящаяся. Подходящими дробями для данной функции являются
1
1
1
,
1
P
Q
=
2
2
2
,
2
Px
Qx
+
=
−
2
3
2
3
12 6
,
12 6
P xx
Q
xx
++
=
−+
25
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
